Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一个焦点是F（1，0），已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知Q（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，求以Q为切点，椭圆的切线方程．
（3）设点P为直线x=4上一动点，过P作椭圆两条切线PA，PB，求证直线AB过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

分析：（1）先由题意可得，△EFG为边长是

2b

3

，高为c=1的等边三角形．利用三角函数知识得出b=

3

，从而求得a值，最后写出椭圆的标准方程；
（2）设以Q为切点的切线方程的斜率为k，再分类讨论：
①若y₀＞0，设f(x)=

3(1- x2 4 )

，利用导数的几何求得切线的斜率进而得出切线方程；
②若y₀＜0，设f(x)=-

3(1- x2 4 )

，同理可得切线方程为

xx0

4

+

yx0

3

=1；
③若y₀=0，则Q（2，0），切线方程为x=2，亦满足

xx0

4

+

yx0

3

=1，综上所述，得出切线方程．
（3）设点P（4，t），切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（2）可知两切线方程PA，PB的方程，同去利用P点在切线PA，PB上，得到x+

ty

3

-1=0为AB的直线方程，从而问题解决．

解答：解：（1）由题意可得，△EFG为边长是

2b

3

，高为c=1的等边三角形．
tan60°=

OF

1 2 EG

=

1

b 3

=

3

，故b=

3

，而c=1，所以a=

b2+c2

=2
椭圆的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1（3分）
（2）设以Q为切点的切线方程的斜率为k，
①若y₀＞0，设f(x)=

3(1- x2 4 )

，
则f′(x)=

-x

4 3(1- x2 4 )

，k=f′(x0)=

-x0

4 3(1- x02 4 )

由于Q（x₀，y₀）在椭圆上，故

x02

4

+

y02

3

=1，
即y0=

3(1- x02 4 )

∴k=

-3x0

4y0

此时切线方程为y-y0=

-3x0

4y0

(x-x0)，整理得：

xx0

4

+

yx0

3

=

y 2 0

3

+

x 2 0

4

将

x02

4

+

y02

3

=1代入，得

xx0

4

+

yx0

3

=1（6分）
②若y₀＜0，设f(x)=-

3(1- x2 4 )

，
则f′(x)=

x

4 3(1- x2 4 )

，k=f′(x0)=

x0

4 3(1- x02 4 )

由于Q（x₀，y₀）在椭圆上，故

x02

4

+

y02

3

=1，
即y0=-

3(1- x02 4 )

∴k=

-3x0

4y0

于是与①同理可得切线方程为

xx0

4

+

yx0

3

=1（8分）
③若y₀=0，则Q（2，0），切线方程为x=2，亦满足

xx0

4

+

yx0

3

=1
综上所述，切线方程为

xx0

4

+

yx0

3

=1（9分）
（3）设点P（4，t），切点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（2）可知两切线方程PA，PB分别为

xx1

4

+

yy1

3

=1，

xx2

4

+

yy2

3

=1（11分）
P点在切线PA，PB上，故P（4，t）满足

xx1

4

+

yy1

3

=1，

xx2

4

+

yy2

3

=1
得：x1+

ty1

3

=1，x2+

ty2

3

=1
故A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均满足方程x+

ty

3

=1，
即x+

ty

3

-1=0为AB的直线方程．（13分）x+

ty

3

-1=0中，
令y=0，则x=1，故AB过定点（1，0），题得证．（14分）

点评：本题主要考查椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系，导数的几何意义等基本知识，考查运算能力和综合解题能力．解题时要注意运算能力的培养．