Question

【题目】已知椭圆（为常数且）与直线有且只有一个公共点，．

（Ⅰ）当点的坐标为时，求直线的方程；

（Ⅱ）过椭圆的两焦点，作直线的垂线，垂足分别为，，求四边形面积的最大值（用表示）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或；

【解析】

（Ⅰ）首先根据点在椭圆上求出的值，然后联立椭圆与直线的方程，利用和点在直线上求得，的值即可求解；

（Ⅱ）联立椭圆与直线的方程，然后利用判别式求得的取值范围，再利用点到直线的距离公式求得原点到直线的距离，利用三角函数求得，从而得到四边形的面积的表达式，然后通过构造函数，利用函数的单调性即可求得最大值．

（Ⅰ）已知点在椭圆上，所以得出．

由椭圆的方程与直线联立，

可得，

因为此方程有且只有一解为，

所以，

又，解得，，

从而得直线的方程为．

（Ⅱ）由椭圆与直线联立，

可得，

由可得，

由，可知，，

原点到直线的距离，

，

因为线段在直线上的投影，

所以四边形的面积，

把代入可得．

令，

由对勾函数的单调性可知，函数在上递减，在上递增，

（ⅰ）当时，函数在上递减，在上递增，所以当，四边形的面积取得最大值为；

（ⅱ）当时，函数在上递减，所以当，四边形的面积取得最大值为．