Question

如图，PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形，且PA=AD，E，F 分别是线段PA，CD的中点．
（Ⅰ）求EF和平面ABCD所成的角的正切值
（Ⅱ）求异面直线EF与BD所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系．设PA=AD=1，可得A、B、P、D、E、F各点的坐标，从而得出

AP

=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，且

EF

=（

1

2

，1，-

1

2

），利用空间向量的夹角公式算出cos＜

EF

，

AP

＞的值，再利用同角三角函数的关系即可算出EF和平面ABCD所成的角的正切值；
（2）由

BD

=（-1，1，0）且

EF

=（

1

2

，1，-

1

2

），利用用空间向量的夹角公式算出cos＜

EF

，

BD

＞的值，即可得到异面直线EF与BD所成的角的余弦值．

解答：解：（1）分别以AB、AD、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示
设PA=AD=1，可得A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，1）
D（0，1，0），E（0，0，

1

2

），F（

1

2

，1，0）
∴

EF

=（

1

2

，1，-

1

2

）
∵

AP

=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量
∴设EF和平面ABCD所成的角为α，则
cos＜

EF

，

AP

＞=

EF • AP

|EF| • |AP|

=

- 1 2

1 4 +1+ 1 4 •1

=-

6

6

可得sinα=|cos＜

EF

，

AP

＞|=

6

6

，
cosα=

1-sin2α

=

30

6

，tanα=

sinα

cosα

=

5

5

，
即EF和平面ABCD所成的角的正切值等于

5

5

；
（2）由（1）得

BD

=（-1，1，0），

EF

=（

1

2

，1，-

1

2

）
∴cos＜

EF

，

BD

＞=

EF • BD

|EF| • |BD|

=

- 1 2 +1+0

1 4 +1+ 1 4 • 1+1+0

=

3

6

即异面直线EF与BD所成的角的余弦值

3

6

．

点评：本题利用空间直角坐标系，求直线与平面所成角和异面直线所成角的大小．着重考查了空间角的定义与求法和向量的夹角公式等知识，属于中档题．