Question

（1）已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x²+y²+z²=24，求证：

4

3

≤x≤4，

4

3

≤y≤4，

4

3

≤z≤4．
（2）已知a₁，b₁，x₁，x₂∈R₊，ab=1，x₁+x₂=2，求证：（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥4
（3）已知a．b．c．d∈R+且a+b+c+d=1，求证：

1

a

+

1

b

+

1

c

+

1

d

≥16．

Answer 1

分析：（1）用x表示y+z和y²+z²，即y+z=8-x，y²+z²=24-x²．再利用柯西不等式（y²+z²）（1+1）≥（y+z）²
得到关于x的一元二次不等式（24-x²）（1+1）≥（8-x）²，化简求得x的范围即可，同理可求得y和z的范围
（2）直接利用柯西不等式(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥(

ax1

•

bx1

+

bx2

•

ax2

) 2证明得到；
（3）直接利用柯西不等式(

1

a

+

1

b

+

1

c

+

1

d

)(a+b+c+d)≥(1+1+1+1)2=16证明得到．

解答：证明：（1）∵x，y，z∈R，x+y+z=8，x²+y²+z²=24，∴y+z=8-x，y²+z²=24-x²．
又由柯西不等式可知（y²+z²）（1+1）≥（y+z）²，即（24-x²）（1+1）≥（8-x）²，
化简后可得

4

3

≤x≤4，同理可证

4

3

≤y≤4，

4

3

≤z≤4．
（2）∵a₁，b₁，x₁，x₂∈R₊，ab=1，x₁+x₂=2，
∴(ax1+bx2)(bx1+ax2)≥(

ax1

•

bx1

+

bx2

•

ax2

) 2=（x₁+x₂）²=4．
∴（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥4．
（3）∵a．b．c．d∈R₊a+b+c+d=1，
∴(

1

a

+

1

b

+

1

c

+

1

d

)(a+b+c+d)≥(1+1+1+1)2=16．

点评：此题考查柯西不等式应用．