Question

如图：四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，点P是平面ABCD外一点，且PB=2，在等腰直角三角形PAD中，Q是斜边AD的中点．
（1）求证：PQ⊥平面ABCD；
（2）求二面角Q-PB-D的大小；
（3）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定实数t的值，使得PA∥平面MQB．

Answer 1

分析：（1）由已知中四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，等腰直角三角形PAD中，Q是斜边AD的中点，由求出PB，QB，PQ值，由勾股定理可得PQ⊥QB，又由PQ⊥AD，由线面垂直的判定定理可得PQ⊥平面ABCD；
（2）建立空间直角坐标系Q-xyz，求出平面PBD的法向量，及平面PQB的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．
（3）连接AC，交QB于O点，连接OM，BM，QM，由线面平行的判定定理可得则需使PA∥OM，由PM=tPC，由平行线分线段成比例定理可得AO=tAC，由底面四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°可得答案．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PB=2，
∴QB=

3

又∵三角形PAD为等腰直角三角
∴PQ=1

PQ=1 QB= 3 PB=2

⇒PQ2+QB2=PB2⇒PQ⊥QB，
又PQ⊥AD，AD∩QB=Q
故PQ⊥平面ABCD…（3分）
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°
∴BQ⊥AD如图所示，建立空间直角坐标系Q-xyz
则B(0，

3

，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，1)，Q(0，0，0)
则

PB

=（0，

3

，-1），

PD

=（-1，0，-1）
设

n

=(x，y，z)是平面PBD的法向量，
则

n

•

PB

=0，

n

•

PD

=0，
即

3 y-z=0 -x-z=0

令y=1，则

n

=(-

3

，1，

3

)
又∵x轴⊥平面PQB
∴

m

=(1，0，0)是平面PQB的法向量，
∴cos＜

m

，

n

＞=

m •n

| m |•| n |

=

- 3

7

=-

21

7

∵二面角Q-PB-D是锐角
∴二面角Q-PB-D的大小为arccos

21

7

…（6分）
（3）连接AC，交QB于O点，连接OM，BM，QM
若使得PA∥平面MQB
则需使PA∥OM
∵PM=tPC
∴AO=tAC
在菱形ABCD中，
可得t=

1

3

…．（10分）

点评：本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间线面关系的判定定理，及向量法解二面角问题的方法和步骤，是解答本题的关键．