Question

设一元二次方程a_nx²-a_n+1x+1=0(n∈N₊)有两根α、β，且满足6α-2αβ+6β=3.

(1)试用a_n表示a_n+1;

(2)求证：{a_n-}是等比数列；

（3）当a₁=时，求数列{a_n}的通项公式.

Answer 1

(1)解：根据根与系数关系，有关系式

代入题设条件6（α+β）-2αβ=3,

得=3,∴a_n+1=a_n+.

(2)证明：由于a_n+1=a_n+,这是数列{a_n}中相邻两项之间的递推公式.现把这一递推关系式转化为等比数列的形式.

∵a_n+1=a_n+,

∴a_n+1-=,故数列{a_n-}是公比为12的等比数列.

(3)解：当a₁=，a₁-=.

∴a_n-=(a₁-)×()^n-1=()ⁿ.

∴a_n=23+12ⁿ,n∈N₊.