Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=，

(Ⅰ)求证：AO⊥平面BCD；

(Ⅱ)求异面直线AB与CD所成角的大小；

(Ⅲ)求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

解：方法一：(Ⅰ)证明：连接OC

∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD．

∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．

在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=．

而AC=2，∴AO²+CO²=AC²，∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．

∵BD∩OC=O，∴AO⊥平面BCD

(Ⅱ)提示：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB，OE∥DC

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角在△OME中，EM=AB=,OE=DC=1，

∵OM是直角斜边AC上的中线，∴OM=AC=1，

∴cos∠OEM=，

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos．

(Ⅲ)提示：设点E到平面ACD的距离为h．

∵V_E-ACD=V_A-CDE，∴h·S_△ACD=AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=，

∴S_△ACD=.

而AO=1，S_△CDE=,

∴h=．

∴点E到平面ACD的距离为．

方法二：(1)同方法一．

(Ⅱ)提示：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则

B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，A(0，0，1)

E(0)，=(-1，0，1)，=(-1，-，0)．

∴cos＜＞=，

∴异面直线AB与CD所成角的大小为arccos.

(Ⅲ)提示：设平面ACD的法向量为n=(x，y，z)，则

∴

令y=1，得n=()是平面ACD的一个法向量．

又=(，0)，

∴点E到平面ACD的距离h=．