Question

如图2-5-9，已知PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C，PD⊥AB于D，PD、AO的延长线相交于E，连结CE并延长交⊙O于F，连结AF.

图2-5-9

（1）求证：△PBD∽△PEC;

（2）若AB=12，tan∠EAF=,求⊙O的半径.

Answer 1

思路分析：在（1）中，要证相似的两个三角形已经有一个角相等，只要再证其夹边对应成比例即可，而这可由△PAD∽△PEA得到；在（2）中，已知tan∠EAF=，所以需构造直角三角形，从而运用三角函数求解.

(1)证明：由切割线定理，得PA²=PB·PC.

由△PAD∽△PEA,得PA²=PD·PE，∴PB·PC=PD·PE.

又∠BPD公共,∴△PBD∽△PEC.

(2)解：作OG⊥AB于G，由△PBD∽△PEC可得∠CEP=∠F，

∴PE∥AF.

又OG⊥AB于G，∴AG=AB=6.

∴OG∥ED∥FA.

∴∠AOG=∠EAF.

Rt△AOG中，tan∠AOG=，又=，∴OG=9.

由勾股定理，AG²+OG²=AO²，∴AO=.

∴⊙O半径长为.

    方法归纳 已知或图形中出现切线、割线等相关的条件时，通常需要借助于切割线定理，以建立线段之间的关系.