Question

4位男生和4位女生共8位同学站成一排，计算下列情况的排队种数：
（1）男生甲和女生乙相邻排队；
（2）男生甲和女生乙顺序固定；
（3）若女生甲不站两端，4位男生中有且只有两位男生相邻．

Answer 1

分析：（1）用捆绑法，先将甲、乙看成一个元素，同时考虑其顺序，再将甲乙与其他人进行全排列，由排列数公式，可得其情况数目，进而由分步计数原理，计算可得答案；
（2）用倍分法，先对8个人全排列，由排列公式，可得其情况数目，进而分析可得其中甲乙的顺序有两种情况，且其数目各占一半，由倍分法计算可得答案；
（3）分3步进行分析：第1步，先排甲之外的三个女生，排好后，有4个空位，第2步，用捆绑法，在男生中取出两人，看成一个元素，同时考虑其顺序，将其与剩余的2名男生，插入女生的空位中，第3步，在其排好的空位中，插入女生甲，分别计算每一步的情况数目，由分步计数原理，计算可得答案．

解答：解：（1）将甲、乙看成一个元素，考虑其顺序，有2种情况，
将甲乙与其他人进行全排列，共7个元素，有A₇⁷=5040种情况，
共有2×5040=10080种情况；
（2）先对8个人全排列，有A₈⁸=40320种情况，
其中甲乙的顺序有两种情况，即甲在乙前或甲在乙后，数目各占一半，
则甲、乙顺序一定的情况有

1

2

×40320=20160种情况，
（3）先排甲之外的三个女生，有A₃³=6种情况，排好后，有4个空位，
在男生中取出两人，考虑其顺序，有2C₄²=12种情况，
将其与剩余的2名男生，在女生的4个空位中，任取3个插入，有A₄³=24种情况，有6×12×24=1728种方法，
此时排除两端的空位，有5个空位可用，插入女生甲，有5种情况，
则共有1728×5=8640种情况．

点评：本题考查排列、组合的运用，关键要掌握常见问题的处理方法，优先分析受限制的元素，不相邻问题用插空法，相邻问题用捆绑法．