Question

一艘轮船在航行过程中的燃料费与它的速度的立方成正比例关系，其他与速度无关的费用每小时96元，已知在速度为每小时10公里时，每小时的燃料费是6元，要使行驶1公里所需的费用总和最小，这艘轮船的速度应确定为每小时多少公里？

Answer 1

分析：若设轮船的速度为x，比例系数为k，（k＞0），则每小时的燃料费为kx³ ，由x=10，可得 k=

3

500

；从而可得每公里航行费用为y=（96+p）t=（96+

3

500

x3)

1

x

=

3

500

(

16000

x

+x2

1

x

，求导函数，从而可确定函数的最值．

解答：解：设轮船的速度为x千米/小时（x＞0），
则航行1公里的时间为t=

1

x

小时．
依题意，设与速度有关的每小时燃料费用为p=kx³，则6=k•10³⇒k=

3

500

，
∴p=

3

500

x3，
故每公里航行费用为y=（96+p）t=（96+

3

500

x3)

1

x

=

3

500

(

16000

x

+x2

1

x

∴y'=

3

250

(x-

8000

x2

），
由y'=0⇒x=20，
且0＜x＜20时，y'＜0；x＞20时，y'＞0．
∴x=20时，y达到最小值

3

500

(

16000

20

+202)=

36

5

元．
答：轮船的速度应定为每小时20公里，行驶1公里所需的费用总和最小．

点评：本题考查了利用导数求函数最值的应用问题，本题的关键是根据题意，正确列出函数解析式，从而求得结果．