Question

如图，双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l₁，l₂，经过右焦点F垂直于l₁的直线分别交l₁，l₂于A，B两点．又已知该双曲线的离心率e=

5

2

．
（Ⅰ）求证：|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|依次成等差数列；
（Ⅱ）若F(

5

，0)，求直线AB在双曲线上所截得的弦CD的长度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由双曲线的离心率求得a和c的关系，进而求得b和a的关系，设∠AOF=∠BOF=θ，则tanθ可求得，利用正切的二倍角公式求得tan∠AOB，进而求得

AB

和

OA

的关系．令|

OA

|=3m，进而可表示出|

AB

|和|

OB

|，进而求得|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，推断出|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|依次成等差数列．
（Ⅱ）由c，分别可求得a和b，进而求得双曲线的方程，设直线AB的斜率为k，进而利用tan∠BFX求得k，进而求得AB的方程，与双曲线方程联立，消去y，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，进而根据弦长公式求得CD．

解答：解：（Ⅰ）由已知e2=

5

4

，即

c2

a2

=

5

4

，故a2=

4

5

c2①
从而b2=c2-a2=

1

5

c2②，
故

b

a

=

c 5

2c 5

=

1

2

设∠AOF=∠BOF=θ，则tanθ=

1

2

故tan∠AOB=tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

4

3

，
即

| AB |

| OA |

=

4

3

令|

OA

|=3m(m＞0)，则|

AB

|=4m，|

OB

|=5m，
满足|

OA

|+|

OB

|=2|

AB

|，
所以，|

OA

|、|

AB

|、|

OB

|依次成等差数列
（Ⅱ）由已知c²=5，代入①，②得a²=4，b²=1，
于是双曲线的方程为

x2

4

-y2=1
设直线AB的斜率为k，则k=tan∠BFX=tan∠AFO=cotθ=2
于是直线AB的方程为：y=2(x-

5

)
联立

y=2(x- 5 ) x2 4 -y2=1

，消y得15x2-32

5

x+84=0
故弦CD的长度|CD|=

1+k2

•

△

15

=

5

×

(-32 5 )2-4×15×84

15

=

4

3

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，双曲线的标准方程，双曲线的性质．考查了学生对圆锥曲线基础知识的掌握和灵活运用．