Question

【题目】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为；

（1）求轨迹的方程；

（2）求定点到轨迹上任意一点的距离的最小值；

（3）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；

(3) 当时,直线与轨迹恰好有一个公共点；

当时, 直线与轨迹恰好有两个公共点；

当时, 直线与轨迹恰好有三个公共点

【解析】

(1) 设点,再根据题意求解关于的方程化简即可.

(2)根据(1)中的轨迹方程,分情况讨论的最小值即可.

(3)根据(1)中的方程,结合直线过分三种情况进行讨论即可.

(1)设点,依题意得,即,

即.化简整理得 .

故点的轨迹的方程为

(2)在点的轨迹中,记,.

设,当点的轨迹在上时,

,当时取得最小值.

当点的轨迹在上时,

综上所述：当时,即,.

(3) 在点的轨迹中,记,.

依题意,可设直线的方程为.

由方程组 可得①

当时,此时 ,把代入轨迹的方程,得.

故此时直线：与轨迹恰好有一个公共点.

当时,方程①的判别式为②

设直线与轴的交点为,则

由,令,得③

若,由②③解得,或.

即当时,直线与没有公共点,与有一个公共点,

故此时直线与轨迹恰好有一个公共点.

若或,由②③解得,或.

即当时,直线与只有一个公共点,与有一个公共点.

当时, 直线与有两个公共点,与没有公共点.

故当时,直线与恰好有两个公共点.

若,由②③解得,或.

即当时,直线与有两个公共点,与有一个公共点,

故此时直线与轨迹恰好有三个公共点.

综上所述：当时,直线与轨迹恰好有一个公共点；

当时, 直线与轨迹恰好有两个公共点；

当时, 直线与轨迹恰好有三个公共点