Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2）．
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明an=

3n-1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁=1，a_n=3^n-1+a_n-1（n≥2），当n=2时可求a₂，n=3时求得a₃
（Ⅱ）利用递推式构造a_n-a_n-1=3^n-1，然后通过累加可求出a_n

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=1，
∴a₂=3+1=4，
∴a₃=3²+4=13；

（Ⅱ）证明：由已知a_n-a_n-1=3^n-1，n≥2
故a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=3n-1+3n-2+…+3+1=

3n-1

2

．n≥2
当n=1时，也满足上式．
所以an=

3n-1

2

．

点评：本题是个基础题，主要考查由递推式求数列的项和累加法求数列的通项，注意验证n=1．