Question

设函数f(x)=2

3

sinωxcosωx+2cos2ωx-1(ω＞1)，且以2π为最小正周期．
（1）求f（x）的解析式，并求当x∈[

π

6

，

π

3

]时，f（x）的取值范围；
（2）若f(x-

π

6

)=

6

5

，求cosx的值．

Answer 1

分析：（1）先根据二倍角公式对原函数进行化简整理，再结合周期为2π即可求出f（x）的解析式；再结合自变量的取值范围结合正弦函数的单调性即可求出f（x）的取值范围；
（2）先根据已知条件求出sinx=

3

5

，再结合同角三角函数之间的关系求出结论即可．

解答：解：（1）∵f(x)=2

3

sinωxcosωx+2cos2ωx-1=

3

sin2ωx+cos2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)．…（2分）
∵T=2π，∴ω=

1

2

．
∴f(x)=2sin(x+

π

6

)．…（4分）
由

π

6

≤x≤

π

3

，得

π

3

≤x+

π

6

≤

π

2

，
于是

3

≤f（x）≤2．
即f （x）的取值范围为[

3

，2]．   …（8分）
（2）∵f(x-

π

6

)=2sin(x-

π

6

+

π

6

)=

6

5

，
即sinx=

3

5

．…（10分）
∴cosx=±

1-sin2x

=±

4

5

．    …（12分）

点评：本题主要考查三角函数中的恒等变换．解决这一类型题目的关键在于对公式的熟练掌握以及灵活运用．