Question

（本小题满分12分）

已知梯形中，∥，，

，、分别是上的点，∥，，是的中点。沿将梯形翻折，使平面⊥平面 (如图) .

（Ⅰ）当时，求证： ；

（Ⅱ）以为顶点的三棱锥的体积记为，求的最大值；

（Ⅲ）当取得最大值时，求钝二面角的余弦值.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）∵平面平面,AE⊥EF,∴AE⊥面平面,AE⊥EF,AE⊥BE,又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz。则A（0，0，2），B（2，0，0），G（2，2，0），D（0，2，2），E（0，0，0）

（－2，2，2），（2，2，0）（－2，2，2）（2，2，0）＝0，

∴ 

（另解）作DH⊥EF于H，连BH，GH，由平面平面知：DH⊥平面EBCF，

而EG平面EBCF，故EG⊥DH。又四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH，

BHDH＝H，故EG⊥平面DBH，而BD平面DBH，∴ EG⊥BD。           4分

（2）∵AD∥面BFC，所以 V_A-BFC＝＝4(4-x)x

即时有最大值为。     8分

（3）设平面DBF的法向量为，∵AE=2, B（2，0，0），D（0，2，2），

F（0，3，0）,∴（－2，2，2）,则 ，即，

取x＝3，则y＝2，z＝1，∴  面BCF的一个法向量为     则cos<>=  由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角，所以此二面角的余弦值为－         

（另解）作DH⊥EF于H，作HM⊥BF，连DM。由三垂线定理知 BF⊥DM，∴∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角。由△HMF∽△EBF，知，而HF=1，BE=2，，∴HM＝。又DH＝2，∴在Rt△HMD中，tan∠DMH=-，因∠DMH为锐角，∴cos∠DMH＝，  而∠DMH是二面角D-BF-C的平面角的补角，

故二面角D-BF-C的余弦值为－。      12分

 

【解析】略