Question

已知an=

1

n(n+1)

，数列{a_n}的前n项的和记为S_n．
（1）求S₁，S₂，S₃的值，猜想S_n的表达式；
（2）请用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）依题意，可求得S₁，S₂，S₃的值，继而可猜想S_n的表达式；
（2）猜想S_n=

n

n+1

；用数学归纳法证明，先证明n=1时等式成立，再假设n=k时等式成立，去证明当n=k+1时等式也成立即可．

解答：解：（1）∵a_n=

1

n(n+1)

，
∴S₁=a₁=

1

1×2

=

1

2

，
S₂=a₁+a₂=

1

2

+

1

2×3

=

2

3

，
S₃=S₂+a₃=

2

3

+

1

3×4

=

9

12

=

3

4

；
…
∴猜想S_n=

n

n+1

；
（2）证明：①当n=1时，S₁=

1

2

，等式成立；
②假设当n=k时，S_k=

k

k+1

成立，
则当n=k+1时，S_k+1=S_k+a_k+1=

k

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=

k(k+2)+1

(k+1)(k+2)

=

(k+1)2

(k+1)(k+2)

=

k+1

k+2

=

k+1

(k+1)+1

，
即当n=k+1时等式也成立；
综合①②知，对任意n∈N^*，S_n=

n

n+1

．

点评：本题考查归纳推理，着重考查数学归纳法，考查推理、证明的能力，属于中档题．