Question

（2009•黄冈模拟）已知抛物线C：y²=2px的准线方程x=-

1

4

，C与直线?₁：y=x在第一象限相交于点P₁，过P₁作C的切线m₁，过P₁作m₁的垂线g₁交x轴正半轴于点A₁，过A₁作?₁的平行线?₂交抛物线C于第一象限内的点P₂，过P₂作抛物线C₁的切线m₂，过P₂作m₂的垂线g₂交x轴正半轴于点A₂，…，依此类推，在x轴上形成一点列A₁，A₂，A₃，…，A_n（n∈N*），设点A_n的坐标为（a_n，0）．
（Ⅰ）试探求a_n+1关于a_n的递推关系式；
（Ⅱ）求证：an≤3•2n-1-

3

2

；
（Ⅲ）求证：

3

(2a1+3)•2

+

4

(2a2+3)•6

+…+

n+2

(2an+3)•n•(n+1)

≥

1

3

-

1

3•2n•(n+1)

．

Answer 1

分析：（I）根据准线方程求出p的值，从而求出抛物线方程，然后将直线与抛物线联立方程组，求出P_n+1的坐标，求出切线m_n+1的斜率得到直线g_n+1的斜率，从而求出直线g_n+1的方程，令y=0，x=a_n+1得到a_n+1关于a_n的递推关系式；
（II）由已知易得P₁（1，1），直线m₁的斜率k_m1=

1

2

，则直线g₁的方程为：y-1=-2（x-1）令y=0得a₁=

3

2

．然后利用放缩法可证得结论；
（III）由（II）知：2a_n+3≤3•2ⁿ，然后利用裂项求和法即可证得结论．

解答：解：（I）由题意知：-

p

2

=-

1

4

， ∴p=

1

2

， ∴C1：y2=x．（1分）
由题意知?_n+1：y=x-a_n联立y²=x得：y²-y-a_n=0，∵y＞0．
∴y=

1+ 1+4an

2

， ∴Pn+1(an+

1+ 1+4an

2

， 

1+ 1+4an

2

)．（3分）
∴切线m_n+1的斜率为kmn+1=

1

4an+1 +1

，∴直线g_n+1的斜率kgn+1=-(

4an+1

+1)，
∴直线g_n+1的方程为y-

1+ 1+4an

2

=-(

4an+1

+1)(x-an-

1+ 1+4an

2

)
令y=0，x=a_n+1得：a_n+1=a_n+1+

1+4an

2

．（5分）
（Ⅱ）由已知易得P₁（1，1），直线m₁的斜率k_m1=

1

2

，
∴直线g₁的方程为：y-1=-2（x-1）令y=0得a₁=

3

2

．（7分）
a_n+1=a_n+1+

1• 1+4an

2

＜an+1+

1+(1+4an)

4

=2an+

3

2

．（9分）
∴a_n+1+

3

2

＜2(an+

3

2

)＜22(an-1+

3

2

)＜…＜2n(a1+

3

2

)=3•2n．
当n≥2时∴a_n+

3

2

＜3•2n-1，即：a_n＜3•2^n-1-

3

2

．
当n=1时，a₁=

3

2

≤3•21-1-

3

2

故a_n＜3•2^n-1-

3

2

．（11分）
（用数学归纳法证明亦可）
（III）由（II）知：2a_n+3≤3•2ⁿ．
∴

n+2

(2an+3)n(n+1)

≥

n+2

3•2n•n(n+1)

=

2(n+1)-n

3•2n•n•(n+1)

=

1

3

[

1

2n-1•n

-

1

2n•(n+1)

]
∴

3

(2a1+3)•2

+

4

(2a2+3)•6

+…+

n+2

(2an+3)•n•(n+1)

≥

1

3

[(1-

1

4

)+(

1

4

-

1

12

)+…+(

1

2n-1•n

-

1

2n•(n+3)

)]
=

1

3

-

1

3•2n(n+1)

．（12分）

点评：本题主要考查了数列与解析几何综合，以及数列与不等式的综合，是一道比较难的题目．