Question

设函数f（x）=x²-ax+b．
（Ⅰ）若不等式f（x）＜0的解集是{x|2＜x＜3}，求不等式bx²-ax+1＞0的解集；
（Ⅱ）当b=3-a时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）因为不等式x²-ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，可知x=2，3是方程x²-ax+b=0的解，利用根与系数的关系可得a，b．进而解出不等式bx²-ax+1＞0的解集．
（II）据题意，f（x）=x²-ax+3-a≥0恒成立，则△=a²-4（3-a）≤0，解出即可．

解答：解：（I）因为不等式x²-ax+b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，
∴x=2，3是方程x²-ax+b=0的解，
∴2+3=a，2×3=b，故不等式bx²-ax+1＞0化为6x²-5x+1＞0，解得x＜

1

3

，或x＞

1

2

，其解集为{x|x＜

1

3

或x＞

1

2

}．
（II）据题意，f（x）=x²-ax+3-a≥0恒成立，则△=a²-4（3-a）≤0，
解得-6≤a≤2．

点评：熟练掌握一元二次不等式的解法、“三个二次”的关系及与△的关系等是解题的关键．