Question

对于函数f(x)=

1

ax-1

+

1

2

(a＞0，且a≠1)
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）探究函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明；
（3）当2＜a＜4时，求函数f（x）在[-3，-1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）的定义域看是否关于原点对称，若对称，再依据f（-x）与f（x）的关系作出判断．
（2）先设0＜x₁＜x₂，再比较f（x₁）与f（x₂）的大小关系，依据定义作出判断，其间要对a进行讨论．
（3）本题可利用（1），（2）问的结论求出．

解答：解：（1）由a^x-1≠0，得x≠0，∴定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称．
∵f(x)=

2+ax-1

2(ax-1)

=

ax+1

2(ax-1)

，f(-x)=

a-x+1

2(a-x-1)

=

1+ax

2(1-ax)

=-

ax+1

2(ax-1)

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．
（2）任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=

1

ax1-1

-

1

ax2-1

=

ax2-ax1

(ax1-1)(ax2-1)

，
①当0＜a＜1时，ax2＜ax1＜a0=1，∴ax2-ax1＜0，ax1-1＜0，ax2-1＜0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）单调递增；
②当a＞1时，ax2＞ax1＞a0=1，∴ax2-ax1＞0，ax1-1＞0，ax2-1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）单调递减．
综上，当0＜a＜1时，f（x）在（0，+∞）为增函数；当a＞1时，f（x）在（0，+∞）为减函数．
（3）由（2）知：当2＜a＜4时，函数f（x）在[1，3]上是减函数，由（1）知：f（x）为奇函数，所以f（x）在[-3，-1]上也为减函数，则

当x=-3时，f(x)max=f(-3)=-f(3)=- 1 a3-1 - 1 2 =- a3+1 2(a3-1) 当x=-1时，f(x)min=f(-1)=-f(1)=- 1 a-1 - 1 2 =- a+1 2(a-1)

．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性，利用定义是解决该类问题的常用办法．