Question

1．如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点．

(1)证明：BE∥平面PAD；

(2)平面EBD能垂直于平面ABCD吗，为什么？

2．在本题中，若平面EBD⊥平面ABCD，则四边形ABCD需满足什么说明条件？

Answer 1

答案：
解析：

1．(1)证明：如图，取PD的中点F，连结EF、AF，则EF∥CD，且CD＝2EF． 　　又∵AB∥CD，CD＝2AB，∴EF∥AB且EF＝AB． 　　∴四边形ABEF是平行四边形． 　　∴AF∥BE．而AF平面PAD．∴BE∥平面PAD． 　　(2)解：如图假设平面EBD能垂直于底面ABCD，过点E作EO⊥BD于点O，连结AO、CO． 　　∵面BDE∩面ABCD＝BD，且EO面BDE，∴EO⊥面ABCD． 　　又∵PA⊥面ABCD，直线AC是PC在面ABCD上的射影， 　　∴平面ABCD的一条斜线PC上点E在面ABCD内的射影O在直线AC上． 　　同时，EO∥PA．又E为PC的中点， 　　∴O为AC的中点．由AB∥CD可知△ABO∽△CDO，且相似比为． 　　∴AB＝CD．这与已知条件四边形ABCD为梯形，且CD＝2AB矛盾． 　　∴假设“平面BDE⊥平面ABCD”是不成立的． 　　因此，平面BDE不能垂直于平面ABCD． 　　2．四边形ABCD为平行四边形． 　　思路分析：证线面平行，只要证出线平行于面内的一条直线即可．由E为PC的中点，所以取PD的中点F．

提示：

解答探索性问题时，可从假设命题成立入手，若导出矛盾，说明假设不成立；若导不出矛盾，说明假设成立．