Question

已知数列的通项公式是，数列是等差数列，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．（1）若，，求数列的通项公式；（2）若，数列的前5项成等比数列，且，，求满足的正整数的个数

Answer 1

解：（1）若，因为5，6，7 ，则5，6，7， 由此可见，等差数列的公差为1，而3是数列中的项， 所以3只可能是数列中的第1，2，3项，

若，则， 若，则，若，则；----------4分

 （注：写出一个或两个通项公式得2分，全部写出得4分）

（2）首先对元素2进行分类讨论：

 ①若2是数列的第2项，由的前5项成等比数列，得

，这显然不可能；

②若2是数列的第3项，由的前5项成等比数列，得，因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的， 所以，则，因此数列的前5项分别为1，，2，，4，这样， 则数列的前9项分别为1，，2，，4，，，，

上述数列符合要求；---------------------------------------------------------8分

③若2是数列的第项（），则，

即数列的公差，

所以，1，2，4<，所以1，2，4在数列的

前8项中，由于，这样，，，…，以及1，2，4共9项，

它们均小于8，即数列的前9项均小于8，这与矛盾。

综上所述，，---------------------------------------------------------10分

其次，当时， ，

，，

  当时， ，因为是公差为的等差数列，

  所以，----------------------------------------------------------14分

所以，此时的不符合要求。所以符合要求的一共有5个。-------------------16分

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