Question

（本题12分）
如图，已知圆O的直径AB=4，定直线L到圆心的距离为4，且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别交L与M、N点。

（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN为直径的圆方程；
（Ⅱ）当点P变化时，求证：以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）设点P的坐标为， MN的中点坐标为。
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。∴⊙必过⊙O 内定点。

解析试题分析：建立直角坐标系，⊙O的方程为，……2分
直线L的方程为。
（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴点P的坐标为，
∴，。将x=4代入，得。
∴MN的中点坐标为（4，0），MN=。∴以MN为直径的圆的方程为。
同理，当点P在x轴下方时，所求圆的方程仍是。……6分
（Ⅱ）设点P的坐标为，∴（），∴。
∵，将x=4代入，得，
。∴，MN=。
MN的中点坐标为。……10分
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。∴⊙必过⊙O 内定点。……12分
考点：圆的方程的求法；直线与圆的位置关系；直线方程的点斜式。
点评：要求圆的方程，只需确定圆心和半径即可。本题的计算量较大，在计算的过程中一定要仔细、认真，避免出现计算错误。