Question

已知抛物线C：y²=4x，过点A（-1，0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设

AP

=λ

AQ

．
（Ⅰ）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；
（Ⅱ）若λ∈[

1

3

，

1

2

]求当|PQ|最大时，直线PQ的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出P和Q的坐标，根据P和M关于x轴对称表示出M的坐标，利用设出的坐标表示出

AP

和

AQ

，根据

AP

=λ

AQ

，化简即可得到P和Q的横坐标，然后由抛物线的方程找出焦点F的坐标，然后利用M，F和Q的坐标表示出向量

MF

，利用刚才化简的式子及求出的横坐标代入即可得到

MF

=λ

FQ

，所以得到直线MQ过F点；
（Ⅱ）由第一问求得的P和Q的横坐标相乘等于1，由y₁²-y₂²=16x₁x₂=16，y₁y₂＞0，得到y₁y₂的值，利用两点间的距离公式表示出|PQ|²，然后把P和Q的横坐标及得到的y₁y₂的值及x₁x₂的值分别代入得到关于λ的关系式，配方后利用λ的范围求出λ+

1

λ

的范围，即可求出λ+

1

λ

的最大值，让其等于最大值解出此时λ的值，把λ的值代入关于λ的关系式即可求出|PQ|²的最大值，即得到|PQ|最大值，并利用λ的值求出此时P和Q两点的坐标，根据两点的坐标即可写出直线PQ的方程．

解答：解：（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x₁，-y₁）
∵

AP

=λ

AQ

∴x₁+1=λ（x₂+1），y₁=λy₂，∴y₁²=λ²y₂²，y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，x₁=λ²x₂
∴λ²x₂+1=λ（x₂+1），λx₂（λ-1）=（λ-1）
∵λ≠1，∴x₂=

1

λ

，x₁=λ，
由抛物线C：y²=4x，得到F（1，0），
∴

MF

=（1-x₁，y₁）=（1-λ，λy₂）=λ（

1

λ

-1，y₂）=λ

FQ

，
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知x₂=

1

λ

，x₁=λ，得x₁x₂=1，y₁²y₂²=16x₁x₂=16，y₁y₂＞0，y₁y₂=4，
则|PQ|²=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=x₁²+x₂²+y₁²+y₂²-2（x₁x₂+y₁y₂）=（λ+

1

λ

）²+4（λ+

1

λ

）-12=（λ+

1

λ

+2）²-16
λ∈[

1

3

，

1

2

]，λ+

1

λ

∈[

5

2

，

10

3

]，
当λ+

1

λ

=

10

3

，即λ=

1

3

时，|PQ|²有最大值

112

9

，则|PQ|的最大值为

4 7

3

，
此时Q（3，±2

3

），P（

1

3

，±

2 3

3

），
k_PQ=±

2 3 - 2 3 3

3- 1 3

=±

3

2

，
则直线PQ的方程为：

3

x±2y+

3

=0

点评：此题考查学生掌握抛物线的简单性质，会根据两点的坐标求直线的方程，会进行向量的运算，是一道中档题．