Question

（本大题16分）

设为实数，函数f（x）=x|x–a|，其中xÎR。

（1）分别写出当a=0．a=2．a= –2时函数f（x）的单调区间；

（2）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明。

Answer 1

（1） 当a=0时，f（x）=x|x|=，

f（x）的单调递增区间为；…2分

  当a=2时，

  的单调递增区间为（–∞,1）和（2,+∞）；…………………………………………4分

  的单调递减区间为（1,2）………………………………………………………6分

  当a= –2时，

  的单调递增区间为（–∞, –2）和（–1, +∞）；……………………………………8分

  的单调递减区间为（–2,–1）…………………………………………………10分

（2）当a=0时，f（x）=x|x|，所以f（x）为奇函数…………………………………11分

因为定义域为R关于原点对称，且f（–x）=–x|–x|=–f（x）

所以为奇函数。…………………………………………………………………13分

当a¹0时，f（x）=x|x–a|为非奇非偶函数，………………………………………14分

f（a）=0，f（–a）= –a|2a|，所以f（–a） ¹ f（a），f（–a） ¹ – f（a）

所以f（x）是非奇非偶函数。………………………………………16分