Question

已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁体积为32，且底面四边形ABCD为直角梯形，其中上底BC=2，下底AD=6，腰AB=2，且BC⊥AB．
（文科）：
（1）求异面直线B₁A与直线C₁D所成角大小；
（2）求二面角A₁-CD-A的大小；
（理科）：
（1）求异面直线B₁D与直线AC所成角大小；
（2）求点C到平面B₁C₁D的距离．

Answer 1

【答案】分析：（文科）（1）本题图形中出现了同一点出发的三条两两垂直的线段，故可以建立空间坐标系用向量法求解，写出要用的点的坐标，得到对应的异面直线的方向向量，根据向量所成的角得到结果．
（2）设出一个平面的法向量，根据向量垂直的条件，得到法向量的坐标之间的关系，写出其中一个，另一个平面上的法向量可以看出法向量，根据两个向量所成的角得到二面角．
（理科）（1）本题图形中出现了同一点出发的三条两两垂直的线段，故可以建立空间坐标系用向量法求解，写出要用的点的坐标，得到对应的异面直线的方向向量，根据向量所成的角得到结果．
（2）根据三棱锥D-B₁C₁C的体积易得，故可用等体积法求解，由于VD-B₁C₁C=VC-B₁C₁D，点D到面B₁C₁C的距离是2，三角形B₁C₁C的面积是4，又点D到线B₁C₁的距离为2，故三角形DB₁C₁的面积可得，代入求出点到面的距离
解答：解：直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁体积为32，且底面四边形ABCD为直角梯形，其中上底BC=2，下底AD=6，腰AB=2，故可解得此棱柱的高是4
如图，以AB所在直线为X轴，以AD所在直线为Y轴，以AA1所在直线为Z轴建立空间坐标系，由上知A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，6，0），A₁（0，0，4），B₁（2，0，4），C₁（2，2，4），D₁（0，6，4）
（文科）：
（1）由题意=（-2，0，-4），=（-2，4，-4）
两向量夹角的余弦值为=
故两直线所成的角为arccos
（2）由于面ACD是坐标平面，故其法向量可设为（0，0，1），令平面A₁CD的法向量是=（x，y，z），由于=（-2，4，0），=（2，2，-4），
又，故有，令y=1，则x=2，z=1，故=（2，1，1）
∴二面角A₁-CD-A的余弦的大小为
故二面角A₁-CD-A的大小为arccos
（理科）：
（1）由图知=（-2，6，-4），=（2，2，0），两向量夹角的余弦是=
故异面直线B₁D与直线AC所成角大小为arccos；
（2）考察图形，三棱锥D-B₁C₁C的体积易得，故可用等体积法求解，
由于=
由图知，点D到面B₁C₁C的距离是2，三角形B₁C₁C的面积是4，故=
又点D到线B₁C₁的距离为2，故三角形DB₁C₁的面积是×2×2=2
故点C到平面B₁C₁D的距离为=
点评：本题考查异面直线所成的角和二面角及点到线的距离，本题解题的关键是建立坐标系，把立体几何理论推导变化成数字的运算，这样降低了题目的难度，但是不利于锻炼学生的理论推导能力．