Question

（08年湖南六校联考理）  设函数，其中

    （1）求的单调区间；

       （2）当时，证明不等式；

       （3）已知，若存在实数使得，则称函数存在零点，试证明在内有零点。

Answer 1

解析：（1）由已知得函数的定义域为且，

       由，解得。

       当变化时，，的变化情况如下表：

	－	0	＋
		极小值

       由上表可知，当时，，函数在内单调递减；当时，，函数在内单调递增，所以，函数的单调减区间是，函数的单调增区间是。

       （2）设。

       对求导，得。

       当时，，所以在内是增函数。又因为在上连续，所以在上是增函数。

       当时，，即

       同理可证（8分）

       （3）由（1）知的最小值为，令

       将代入，得：，

       即，

       ，即。可知

       假设在内没有零点，由于在上连续，且，（10分）

       故当时，恒成立（若不然，则与函数零点存在的判定定理矛盾）。

       即对任意恒成立。

       令，对求导，得。

       ，由（2）知在内为减函数。

       ，这与矛盾，故假设不成立。

       所以在内有零点。（13分）