Question

试构造一个函数f（x），x∈D，使得对一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，但是f（x）既不是奇函数又不是偶函数，则f（x）可以是

f（x）=

5          x=1 2     -1＜ x＜1 -5         x=-1

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Answer 1

分析：函数f（x），x∈D，使得对一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立?[f（-x）]²=[f（x）]²?[f（-x）+f（x）]•[f（-x）-f（x）]=0⇒f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）；而f（x）既不是奇函数又不是偶函数，可构造分段函数满足即可．

解答：解：∵函数f（x），x∈D，使得对一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，
∴[f（-x）]²=[f（x）]²，即[f（-x）+f（x）]•[f（-x）-f（x）]=0，
∴f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x）；
而f（x）既不是奇函数又不是偶函数，
故可令函数f（x）=

5          x=1 2     -1＜ x＜1 -5         x=-1

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点评：本题考查函数奇偶性的判断，难点在于对“函数f（x），x∈D，使得对一切x∈D有|f（-x）|=|f（x）|恒成立，但是f（x）既不是奇函数又不是偶函数”的理解与应用，考查深度思维，属于中档题．