Question

给出以下命题：
①若α、β均为第一象限角，且α＞β，且sinα＞sinβ；
②若函数y=2cos(ax-

π

3

)的最小正周期是4π，则a=

1

2

；
③函数y=

sin2x-sinx

sinx-1

是奇函数；
④函数y=|sinx-

1

2

|的周期是π
⑤函数y=sinx+sin|x|的值域是[0，2]
其中正确命题的个数为（　　）

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

分析：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，取α=4π+

π

6

，β=2π+

π

3

，可知sinα＜sinβ；
②若函数y=2cos(ax-

π

3

)的最小正周期是4π，则

2π

|a|

=4π，解得a=±

1

2

；
③由函数y=

sin2x-sinx

sinx-1

，可知sinx-1≠0，而由sinx≠1，得到x≠2kπ+

π

2

(k∈Z)，可知此函数的定义域关于原点不对称；
④由于|sin（π+x）-

1

2

|=|sinx+

1

2

|≠|sinx-

1

2

|，可知π不是函数y=|sinx-

1

2

|的周期．
⑤函数y=sinx+sin|x|=

2sinx，x≥0 0，x＜0

，当x≥0时，sinx∈[-1，1]，可知函数的值域为[-2，2]．

解答：解：①若α、β均为第一象限角，且α＞β，如α=4π+

π

6

，β=2π+

π

3

，但是sinα＜sinβ，因此不正确；
②若函数y=2cos(ax-

π

3

)的最小正周期是4π，则

2π

|a|

=4π，解得a=±

1

2

，因此不正确；
③由函数y=

sin2x-sinx

sinx-1

，可知sinx-1≠0，而由sinx≠1，得到x≠2kπ+

π

2

(k∈Z)，可知此函数的定义域关于原点不对称，因此不是奇函数，故不正确；
④∵|sin（π+x）-

1

2

|=|sinx+

1

2

|≠|sinx-

1

2

|，∴π不是函数y=|sinx-

1

2

|的周期．
⑤函数y=sinx+sin|x|=

2sinx，x≥0 0，x＜0

，当x≥0时，sinx∈[-1，1]，可知函数的值域为[-2，2]，因此不正确．
综上可知：①②③④⑤都不正确．
故选：D．

点评：本题综合考查了三角函数的图象与性质，属于难题．