Question

如图，圆柱OO₁内有一个三棱柱ABC-A₁B₁C₁，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径．
（1）证明：平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁；
（2）设AB=AA₁=2，点C为圆柱OO₁底面圆周上一动点，记三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V．
①求V的最大值；
②记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当V取最大值时，求cosθ的值；
③当V取最大值时，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁内（包括边界）的动点P到直线B₁C₁的距离等于它到直线AC的距离，求动点P到点C距离|PC|的最值．

Answer 1

分析：（1）利用线面、面面垂直的判定和性质定理即可证明；
（2）①解法一：利用三棱柱的体积公式和基本不等式的性质即可求出；解法二：利用三棱柱的体积计算公式和三角函数的单调性和最值即可求出；
②通过建立空间直角坐标系，分别求出此两个平面的法向量，利用法向量的夹角和二平面的二面角的关系即可求出；
③建立如图所示的平面直角坐标系，根据题意分别表示出有关的距离，列出方程即可得出．

解答：（1）证明：∵A₁A⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A₁A⊥BC．
∵AB是圆O的直径，∴BC⊥AC．
又AC∩A₁A=A，∴BC⊥平面A₁ACC₁
而BC?平面B₁BCC₁，∴平面A₁ACC₁⊥平面B₁BCC₁．
（2）①解法一：由已知圆柱的底面半径为1，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=

1

2

AC•BC•2=AC•BC．
又∵AC²+BC²=AB²=4，∴AC•BC≤

AC2+BC2

2

=2，当且仅当AC=BC=

2

时等号成立．
从而，V_max=2，当AC=BC=

2

时取得最大值．
解法二：由已知圆柱的底面半径为1，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V=

1

2

AC•BC•2=AC•BC．
设∠BAC=α（0°＜α＜90°），则AC=ABcosα=2cosα，BC=ABsinα=2sinα．
由于AC•BC=4sinαcosα=2sin2α≤2，当且仅当sin2α=1即α=45°时等号成立，故V_max=2．
②由①知，V取最大值时，OC⊥AB．于是，以O为坐标原点，OB为y轴，OO₁为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则C（1，0，0），B（0，1，0），B₁（0，1，2）．
∵BC⊥平面A₁ACC₁，∴

BC

=(1，-1，0)是平面A₁ACC₁的一个法向量．
设平面B₁OC的法向量

n

=(x，y，z)，由

n ⊥ OC n ⊥ OB1

得

x=0 y+2z=0

，
令z=1，则y=-2．
得平面B₁OC的一个法向量为

n

=(0，-2，1)．
∵0°＜θ≤90°，∴cosθ=|cos＜

n

，

BC

＞|=

| n • BC |

| n | | BC |

=

2

5 × 2

=

10

5

．
③以C为坐标原点，AC为x轴正方向，CC₁为y轴正方向，建立平面直角坐标系xCy，
则设P（x，y），C（0，0），C₁（0，2），A1(-

2

，2)，A(-

2

，0)，
动点P到直线B₁C₁的距离即为|PC₁|，到直线AC的距离等于|y|，
∴

x2-(y-2)2

=|y|，化简得动点P的轨迹方程为y=

x2

4

+1(-

2

≤x≤0)，其轨迹为以CC₁的中点（0，1）为顶点，开口向上的抛物线的一段，-

2

≤x≤0．
∴|PC|=

x2+y2

=

4y+4+y2

=

(y+2)2-8

，
由-

2

≤x≤0得1≤y≤

3

2

，∴当y=1时，|PC|_min=1；y=

3

2

时，|PC|max=

17

2

．

点评：本题综合考查了线面、面面垂直的判定与性质定理，三棱柱的体积公式及基本不等式的性质或三角函数求最值，二面角的平面角和抛物线的定义等内容，熟练掌握有关的知识与方法是解题的关键．