Question

【题目】设函数，其中是实数．

(l）若 ，求函数的单调区间；

(2）当时，若为函数图像上一点，且直线与相切于点，其中为坐标原点，求的值；

(3) 设定义在上的函数在点处的切线方程为，若在定义域内恒成立，则称函数具有某种性质，简称“函数”．当时，试问函数是否为“函数”？若是，请求出此时切点的横坐标；若不是，清说明理由．

Answer 1

【答案】（1）增区间为，减区间为；（2）；（3）是“函数”， .

【解析】试题分析：（1）求出，分别令和可以得到函数的增区间和减区间．（2）由题设，曲线在处的切线过原点，故 ，整理得到，根据函数为增函数以及得到．（3）函数在处的切线方程为： ，

构造函数

其导数为分别讨论和时的符号以及进一步讨论的单调性可知在和上不是“函数”，故，经检验符合．

解析：（1）由，得， （），， 由得： ；由得： ．所以的单调增区间为，单调减区间为．

（2）由，得， ． ， 所以切线的斜率．又切线的斜率为，所以， ，即，设， ，所以，函数在(0,＋∞)上为递增函数，且是方程的一个解，即是唯一解，所以，．

（3）当时，由函数在其图象上一点处的切线方程为 ，

令

设 ，则．

且

当 时， ，则在上有 ，故在上单调递增，故当有，所以在有；

当 时， ，则在上有 ，故在上单调递增，故当有，所以在有；

因此，在上 不是“函数”．

当时， ，所以函数在上单调递减．

所以， 时， ， ；

时， ， ．因此，切点为点，其横坐标为．