Question

已知圆C的圆心在抛物线x²=2py（p＞0）上运动，且圆C过A（0，p）点，若MN为圆C在x轴上截得的弦．
（1）求弦长MN；
（2）设AM=l₁，AN=l₂，求

l1

l2

+

l2

l1

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先设圆心坐标C（x₀，y₀），根据条件得到圆C的方程，再求出交点M和N的横坐标，再根据弦长公式MN=|x₂-x₁|求得MN．
（2）首先设∠MAN=θ，接着根据三角形MAN面积得l₁与l₂关系式①，再根据余弦定理求得l₁²+l₂^{2_{的表达式即}}l₁与l₂关系式②，
联立①②求得

l1

l2

+

l2

l1

的表达式，根据θ的范围代入求解．

解答：解：（1）依题意设C（x₀，y₀），M、N的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
        则圆C的方程为：（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²．
         令y=0，并由x₀²=2py₀，得x²-2x₀x+x₀²-p²=0，
         解得x₁=x₀-p，x₂=x₀+p，
         所以弦长MN为|x₂-x₁|=x₀+p-（x₀-p）=2p．
  
 （2）设∠MAN=θ，因为S△MAN=

1

2

l1•l2•sinθ=

1

2

OA•MN=p2，
    所以l1l2=

2p2

sinθ

，因为l₁²+l₂²-2l₁ l₂cosθ=4p²，
    所以l₁²+l₂²=4p2+

4p2

sinθ

cosθ=4p2(1+

1

tanθ

)．
     所以

l1

l2

+

l2

l1

=

l 2 1 + l 2 2

l1l2

=

4p2(1+ 1 tanθ )sinθ

2p2

=2(sinθ+cosθ)=2

2

sin(θ+45°)．
    因为0＜θ≤90⁰，所以当且仅当θ=45°时，原式有最大值2

2

，当且仅当θ=90°时，原式有最小值为2，
    从而

l1

l2

+

l2

l1

的取值范围为[2，2

2

]．

点评：这是一道圆锥曲线与三角函数的知识点交汇综合题型，此题考查学生的运算能力，
知识点方面还考查直线与圆的位置关系，及弦长公式的运用，同时利用三角函数求最值方法．