Question

【题目】已知函数 ．

（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；

（2）若函数在处取得极值，且对任意, 恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，求证： ．

Answer 1

【答案】(1)答案见解析；(2) ；(3)证明见解析.

【解析】试题分析：

（1）由题意可得，分类讨论有：当时，函数没有极值点，

当时，函数有一个极值点．

（2）由题意可得，原问题等价于恒成立，讨论函数的性质可得实数的取值范围是；

（3）原问题等价于，继而证明函数在区间内单调递增即可.

试题解析：

（1），

当时， 在上恒成立，

函数在单调递减，∴在上没有极值点；

当时， 得， 得，

∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．

∴当时在上没有极值点，

当时，在上有一个极值点．

（2）∵函数在处取得极值，∴，

∴，

令， ，

可得在上递减，在上递增，

∴，即．

（3）证明：，

令，则只要证明在上单调递增，

又∵，

显然函数在上单调递增．

∴，即，

∴在上单调递增，即，

∴当时，有．