Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）．
（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+c）²；
（Ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，求M的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f′（x）≤f（x）转化为x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，找到b和c之间的关系，再对f（x）和（x+c）²作差整理成关于b和c的表达式即可．
（Ⅱ）对c≥|b|分c＞|b|和c=|b|两种情况分别求出对应的M的取值范围，再综合求M的最小值即可．

解答：解：（Ⅰ）易知f'（x）=2x+b．由题设，对任意的x∈R，2x+b≤x²+bx+c，
即x²+（b-2）x+c-b≥0恒成立，所以（b-2）²-4（c-b）≤0，从而c≥

b2

4

+1．
于是c≥1，且c≥2

b2 4 ×1

=|b|，因此2c-b=c+（c-b）＞0．
故当x≥0时，有（x+c）²-f（x）=（2c-b）x+c（c-1）≥0．
即当x≥0时，f（x）≤（x+c）²．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c≥|b|
当c＞|b|时，有M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

=

c2-b2+bc- b2

c2-b2

=

c+2b

b+c

，
令t=

b

c

则-1＜t＜1，

c+2b

b+c

=2-

1

t+1

，
而函数g（t）=2-

1

t+1

（-1＜t＜1）的值域（-∞，

3

2

）
因此，当c≥|b|时M的取值集合为[

3

2

，+∞）．
当c=|b|时，由（Ⅰ）知，b=±2，c=2．
此时f（c）-f（b）=-8或0，c²-b²=0，
从而f(c)-f(b)≤

3

2

(c2-b2)恒成立．
综上所述，M的最小值为

3

2

点评：本题是对二次函数的恒成立问题和导函数的求法的综合考查．二次函数的恒成立问题一般分两类，一是大于0恒成立须满足开口向上，且判别式小于0，二是小于0恒成立须满足开口向下，且判别式小于0．