Question

设在公差为d的等差数列{a_n}和公比为q的等比数列{b_n}中，a₁=b₁=a＞0，a_4n-1=b_4n-1，问是否存在实常数q，使a_2n=b_2n．

Answer 1

分析：要使a_2n=b_2n．需

a1+a4n-1

2

=

b 1b4n-1

，把a_2n=

a1+a4n-1

2

，b_2n=

b 1b4n-1

代入，根据a_4n-1=b_4n-1，和等比数列的通项公式化简整理得q^4n-2-2q^2n-1+1=0，求得q^2n-1=1为常数，故可判断存在实常数q使a_2n=b_2n．

解答：解：∵a_2n=

a1+a4n-1

2

，b_2n=

b 1b4n-1

∴要使a_2n=b_2n．需

a1+a4n-1

2

=

b 1b4n-1

∵a_4n-1=b_4n-1，
∴

a+b4n-1

2

=

b 1b4n-1

整理得q^4n-2-2q^2n-1+1=0
解得q^2n-1=1，即q=1
∴存在实常数q，使a_2n=b_2n．

点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．特别是利用了等差中项和等比中项的性质．