Question

如图 5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影线垂直于投影面）是四边形，其中A与A '重合，且BB'＜DD'＜CC'．
（1）证明AD'//平面BB'C'C，并指出四边形AB'C'D’的形状；
（2）如果四边形中AB'C'D’中，，正方形的边长为，
求平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

见解析.

第一问是涉及到线面平行的判定，以及四边形的形状问题的证明。
第二问关于二面角的求解，可以利用射影面积公式法，也可以利用法向量的夹角公式来解，通过合理的建立直角坐标系，表示向量，然后求解斜率的夹角，利用互为补角的关系求解得到二面角的大小。
解：（2）依题意，在Rt△ABB’中，，
在Rt△ADD’中，，
所以．………………8分

连结AC，AC’，如图5－2，在Rt△ACC’中，．
所以，故．……10分
（法1）延长CB，C’B’相交于点F，
则，所以．
连结AF，则AF是平面ABCD与平面AB’C’D
的交线．
在平面AB’C’D
内作C’G，垂足为G，
连结．
因为平面AB’C’D，平面AB’C’D，所以AF．
从而平面CC’G，．
所以是平面ABCD与平面AB’C’D所成的一个锐二面角． …………12分
在Rt△AC’F中，，
在Rt△CC’G中，．
所以，
即平面ABCD与平面AB'C'D’所成的锐二面角的余弦值为．………14分

（法2）以c’为原点，c’a为x轴，c’b’为y轴，c’c为z轴，
建立空间直角坐标系（如图5－3），
则平面AB’C’D的一个法向量．
设平面ABCD的一个法向量为，
因为

取z=1，则y=，x=，所以平面ABCD的一个法向量为．
（注：法向量不唯一，可以是与共线的任一非零向量）……………12分
．
所以平面ABCD与平面AB’C’D所成的锐二面角的余弦值为．…………………14分
（法3）由题意，正方形ABCD在水平面上的正投影是四边形AB’C’D，
所以平面ABCD与平面AB’C’D，所成的锐二面角的余弦值． …………12分
所以，
所以平面ABCD与平面AB’C’D所成的锐二面角的余弦值为．…………………14分