Question

设椭圆C₁:+=1(a>b>0),抛物线C₂:x²+by=b².

(1)若C₂经过C₁的两个焦点,求C₁的离心率;
(2)设A(0,b),Q（3,b）,又M,N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点,若△AMN的垂心为B（0,b）,且△QMN的重心在C₂上,求椭圆C₁和抛物线C₂的方程.

Answer 1

（1）  （2）+=1    x²+2y=4

解析解:(1)因为抛物线C₂经过椭圆C₁的两个焦点F₁(-c,0),F₂(c,0),
可得c²=b²,
由a²=b²+c²=2c²,
有=,
所以椭圆C₁的离心率e=.
(2)由题设可知M,N关于y轴对称,
设M(-x₁,y₁),N(x₁,y₁)(x₁>0),
则由△AMN的垂心为B,有·=0.
所以-+（y₁-b）(y₁-b)=0.①
由于点N(x₁,y₁)在C₂上,
故有+by₁=b².②
由①②得y₁=-或y₁=b(舍去),
所以x₁=b,
故M（-b,-）,N（b,-）,
所以△QMN的重心坐标为（,）.
由重心在C₂上得3+=b²,
所以b=2,
M（-,-）,N（,-）.
又因为M,N在C₁上,
所以+=1,
解得a²=.
所以椭圆C₁的方程为+=1.
抛物线C₂的方程为x²+2y=4.