Question

（2007•河北区一模）如果方程

|x-1|

=kx恰有唯一解，则实数k的取值范围是

k∈（-∞，0]∪（

1

2

，+∞）

．

Answer 1

分析：设y=

|x-1|

，y=kx，然后作出两个函数的图象，利用图象确定k的取值范围．

解答：解：y=f（x）=

|x-1|

，y=kx，则f（x）=

x-1 ，x≥1 1-x ，x＜1

，图象关于x=1对称．
然后作出两个函数的图象，
当k=0时，x=1，方程有一解，所以k=0成立．
当k≠0时，
由图象知当k＜0时，两个方程恒有一个交点，成立．
当k＞0时，当x＞1时由kx=

x-1

，即k²x²=x-1，所以k²x²-x+1=0．
由△=0得，1-4k²=0，解得k=

1

2

，此时直线y=kx与f（x）相切，所以要使方程此时有唯一解，则k＞

1

2

．
综上满足条件的k的取值范围是k∈（-∞，0]∪（

1

2

，+∞）．
故答案为；k∈（-∞，0]∪（

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数与方程的关系，利用数形结合是解决本题的关键．