Question

已知底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，PA=AB=AD=2，则点C到平面PBD的距离为（　　）

• A．

  3

• B．

  2 3

  3

• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：建立空间直角坐标系，求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量

PC

，然后求出

PC

在法向量上的射影即可得到点到平面的距离．

解答：解：建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=2

2

，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
所以

PB

=（2，0，-2），

PD

=（0，2，-2），
设平面PBD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

•

PB

=0，

n

•

PD

=0，即

2x+0-2z=0 0+2y-2z=0

，
∴x=y=z，故可取为

n

=（1，1，1）．
∵

PC

=（2，2，-2），
∴C到面PBD的距离为d=|

n • PC

| n |

|=

2 3

3

．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用向量的基本运算解决线面共线、空间角与空间距离等问题．