Question

平行四边形ABCD中，已知：

DE

=

1

3

DC

，

DF

=

1

4

DB

，求证：A、E、F三点共线．

Answer 1

分析：证明一：（利用共线向量的判定定理证明）以

AB

，

BD

作为基底，推出

AE

=

4

3

AF

，得到A、E、F共线．
证明二：（利用三点共线的判定定理证明）推出

DF

=

1

4

DA

+

3

4

DE

，通过

1

4

+

3

4

=1，说明A、E、F共线

解答：证明：证明一：（利用共线向量的判定定理证明）
以

AB

，

BD

作为基底，
有：

AF

=

AB

+

BF

=

AB

+

3

4

BD

，

AE

=

AD

+

DE

=

AB

+

BD

+

1

3

AB

=

4

3

AB

+

BD

，
从而

AE

=

4

3

AF

，所以A、E、F共线．
证明二：（利用三点共线的判定定理证明）

DF

=

1

4

DB

=

1

4

(

DA

+

DC

)=

1

4

(

DA

+3

DE

)=

1

4

DA

+

3

4

DE

，
而：

1

4

+

3

4

=1，所以A、E、F共线．
（可以建立坐标系，利用求出等比分点坐标公式求出E、F的坐标，再证明A、E、F共线）

点评：本题考查共线向量的判定定理，三点共线的判定定理证明问题的方法，考查计算能力，定理的应用能力．