Question

已知数列{a_n}，{b_n}对任意正整数n，都有a_n+2=6a_n+1-9a_n，b_n+1-b_n=a_n，且a₁=9，a₂=45，b₁=1
（1）求证：存在实数λ，使数列{

an

λn

}是等差数列；
（2）求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）数列{

an

λn

}是等差数列，通过

an+2

λn+2

+

an

λn

=

2an+1

λn+1

，利用待定系数法，解方程求出λ值即可．
（2）利用b_n+1-b_n=a_n，以及{

an

λn

}是等差数列，求出a_n，通过错位相减法求出数列{b_n}的通项公式．

解答：解：（1）证明：欲使{

an

λn

}为等差数列，只需

an+2

λn+2

+

an

λn

=

2an+1

λn+1

即a_n+1=2λa_n+1-λ²a_n，因为a_n+2=6a_n+1-9a_n，令

2λ=6 λ2=9

得λ=3，
∴存在实数λ=3，使{

an

λn

}是等差数列…（6分）
（2）b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁=b₁+a₁+a₂+…+a_n-1
∵{

an

3n

}是等差数列，

a1

3

=3，

a2

32

=5
∴

an

3n

=3+(n-1)(5-3)=2n+1
∴a_n=（2n+1）•3ⁿ
∴b_n=1+3×3+5×3²+…+（2n-1）•3^n-13b_n=1×3+3×3²+…+（2n-3）•3^n-1+（2n-1）•3ⁿ
∴-2b_n=1+2（3×3²+…+3^n-1）-（2n-1）•3ⁿ=-2（n-1）•3ⁿ-2
故b_n=（n-1）•3ⁿ+1…（12分）

点评：本题是中档题，考查数列的证明，数列通项公式的求法，错位相减法应用于一个等差数列与一个等比数列对应项乘积的数列求和的常用方法，考查计算能力．