Question

如图，椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为。

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设动点P满足：，其中M，N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为-。问：是否存在两个定点F₁，F₂，使得|PF₁|+|PF₂|为定值？若存在，求F₁，F₂的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）由，
解得a=2，，b²=a²-c²=2
故椭圆的标准方程为
。
（2）设 P（x，y），M（x₁，y₁），N （x₂，y₂）
则由
得（x，y）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂）=（x₁+2x₂，y₁+2y₂），
即x=x₁+2x₂，y =y₁+2y₂
因为点M，N在椭圆x²+2y²=4上，
所以
故

=20+4（x₁x₂+2y₁y₂）
设k_OM，k_ON分别为直线OM，ON的斜率，
由题设条件知
因此x₁x₂+2y₁y₂=0，
所以x²+2y²=20
所以P点是椭圆上的点
设该椭圆的左、右焦点为F₁，F₂，
则由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂| 为定值，
又因
因此两焦点的坐标为。