Question

已知f（x）是定义在R上的偶函数，f（0）=1，g（x）是定义在R上的奇函数，且g（x）=f（x-1），则f（2011）+f（2012）+f（2013）=

1

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Answer 1

分析：根据函数f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，运用函数奇偶性的定义得到f（x）=f（-x），g（x）=-g（-x），然后结合g（x）=f（x-1），灵活变形后求出函数f（x）的周期，再根据g（x）是定义在R上的奇函数，得g（0）=0，从而得到f（1）=0，最后把要求的值转化为f（0）和f（1）的值．

解答：解：因为f（x）是定义在R上的偶函数，所以f（x）=f（-x），g（x）是定义在R上的奇函数，所以g（x）=-g（-x），
由g（x）=f（x-1），取x=x+1，所以f（x）=g（x+1），又g（x）=-g（-x），所以f（x）=-g（-x-1）=-f（-x-2）=-f（x+2），
则f（x+2）=-f（x），所以f（x+4）=f（x），所以函数f（x）是以4为周期的周期函数．
因为g（x）是定义在R上的奇函数，所以g（0）=0，由g（x）=f（x-1），取x=0，得：f（1）=f（-1）=g（0）=0，又f（0）=1，
所以f（2011）+f（2012）+f（2013）=f（-1）+f（0）+f（1）=0+1+0=1．
故答案为1．

点评：本题考查了函数的奇偶性和周期性，考查了如何通过替代自变量的值求函数的周期，体现了数学转化思想，考查了学生的抽象思维能力，此题是中档题．