Question

如果30＜x＜42，16＜y＜24，则x-2y的取值范围是

（-18，10）

；

x

y

的取值范围是

（

5

4

，

21

8

）

．

Answer 1

分析：先作出不等式组表示的平面区域，设z=x-2y可得，y=

1

2

x-

1

2

z，则-

1

2

z表示直线x-2y-z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围；欲求

x

y

的取值范围，可先求

y

x

的取值范围，而

y

x

的几何意义表示点（x，y）与原点连线的斜率，利用直线的斜率求其取值范围．

解答：解：作出不等式组表示的平面区域
由z=x-2y可得，y=

1

2

x-

1

2

z，则-

1

2

z表示直线x-2y-z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小
结合函数的图形可知，
当直线x-2y-z=0平移到A（30，24）时，截距最大，z最小Z_min=30-2×24=-18；
当直线x-2y-z=0平移到B（42，16）时，截距最小，z最大Z_max=42-2×16=10，
则z=x-2y∈（-18，10）；

y

x

的几何意义表示点（x，y）与原点连线的斜率，
利用直线的斜率求得其最大值k_OA=

24

30

=

4

5

，最小值为k_OB=

16

42

=

8

21

，
其取值范围（

8

21

，

4

5

）
∴

x

y

的取值范围是 （

5

4

，

21

8

）
故答案为：（-18，10）；（

5

4

，

21

8

）．

点评：平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．