Question

【题目】如图，在三棱柱中，为正三角形，，，，点在线段的中点，点为线段的中点．

（1）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．

（2）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）存在线段的中点满足题意，理由见解析；（2）．

【解析】

（1）由点为线段的中点，点为线段的中点，可得，得到平面，取的中点，得，同理平面，再由面面平行的判定可得平面平面，进一步得到平面；

（2）由已知求解三角形证明平面，得到，求出三角形的面积，再由棱锥体积公式求三棱锥的体积．

（1）存在线段的中点满足题意

证明如下：

因为点为线段的中点，为的中点，所以，

又平面，平面，所以平面．

取中点，连接，，则，

同理平面．

又，所以平面平面．

又平面，所以平面．

（2）由，为正三角形，及棱柱知为正三角形，，，，．

因为，所以，

所以，所以，

又，所以平面．

因为，所以平面．

又，所以，

因为，所以平面．

又平面，所以，

所以，

所以．