Question

已知椭圆的离心率，一条准线方程为x=4，P为准线上一动点，以原点为圆心，椭圆的焦距|F₁F₂|为直径作圆O，直线PF₁，PF₂与圆O的另一个交点分别为M，N．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）探究直线MN是否经过一定点，若存在，求出该点坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出椭圆的标准方程，利用椭圆的离心率，一条准线方程为x=4，建立方程组，求出几何量，即可得到椭圆的标准方程；
（2）确定圆O的方程，设出直线PF₁的方程，代入圆的方程，确定M的坐标，同理可得N的坐标，分类讨论，确定直线MN的方程，即可得到结论．
解答：解：（1）设椭圆的标准方程为，
∵椭圆的离心率，一条准线方程为x=4，
∴
∴
∴b²=a²-c²=4
∴椭圆的标准方程为；
（2）由题意，F₁（-2，0），F₂（2，0），∴⊙O的方程为x²+y²=4
设P（4，m）则直线PF₁的方程为
代入圆的方程，可得（m²+36）x²+4m²x+4（m²-36）=0
∴x₁=-2，x₂=
∴M（，）
同理可得N（，）
若MN⊥x轴，则，解得m²=12，此时点M，N的横坐标都为1，直线MN过定点（1，0）；
若MN与x轴不垂直，即m²≠12，此时，k_MN==
∴直线MN的方程为y-=[x-]
即
∴直线MN过定点（1，0），
综上，直线MN过定点（1，0）．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．