Question

有幂函数y＝(α≠0)若干个，每个函数至少具有下面三条性质之一：

(1)是奇函数；

(2)是(－∞，＋∞)内的增函数；

(3)函数的图象经过原点．

又已知同时具有性质(1)的共有15个，具有性质(2)的共有12个，具有性质(3)的共有18个，试问，这些幂函数共有几个？其中幂指数小于零的有几个？

Answer 1

答案：
解析：

解：由幂函数的性质知，在(－∞，＋∞)内的增函数一定是奇函数，且图象一定过原点． 　　又若一个函数是奇函数，且其图象又经过原点，则这个函数一定是在(－∞，＋∞)上的增函数． 　　设这些幂函数中分别具备性质(1)(2)(3)的函数分别构成集合A、B、C，而幂指数小于零的构成集合D，依题意得 　　 　　即共有幂函数21个． 　　又幂指数小于零的幂函数图象一定不经过原点，反之亦然，故其中幂指数小于零的函数有21－18＝3个．

提示：

充分考虑幂函数的性质，合理运用集合理论解题．