Question

我们把同时满足下列两个性质的函数称为“和谐函数”：
①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数；
②在函数的定义域内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p²，q²]．
（1）已知幂函数f（x）的图象经过点（2，2），判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数？
（2）判断函数是否是和谐函数？
（3）若函数是和谐函数，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用幂函数f（x）的图象经过点（2，2），求出函数的表达式，然后判断g（x）=f（x）+2（x∈R）是否是和谐函数．
（2）直接利用新定义，判断函数是否满足和谐函数的定义，即可推出结果；
（3）利用新定义，函数是和谐函数，推出关系式即可求实数t的取值范围．
解答：解：（1）设f（x）=x^α（α∈R），由f（2）=2^α=2，得α=1，f（x）=x，g（x）=x+2在R上是增函数，
令，得p=-1，q=2
故g（x）=f（x）+2是和谐函数．                  …（4分）
（2）易得h（x）为R上的减函数，
①若p＜q＜1则，相减得p+q=2与p＜q＜1矛盾；
②若1≤p＜q则，p²+q²=1与1≤p＜q矛盾；
③若p＜1≤q则，p=1与p＜1矛盾．
故h（x）不是和谐函数．                …（8分）
（3）在上是增函数，
由函数是和谐函数知，
函数φ（x）在内存在区间[p，q]（p＜q），使得函数在区间[p，q]上的值域为[p²，q²]．
∴
∴是方程在区间内的两个不等实根
?x²-x+1-t=0在区间内的两个不等实根，
…（12分）
点评：本题考查新定义的理解以及应用，考查函数与方程的关系，函数的单调性与函数的定义域与函数的值域的综合应用．