Question

（2010•广州模拟）已知两点M（-1，0）、N（1，0），点P为坐标平面内的动点，满足|

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若点A（t，4）是动点P的轨迹上的一点，K（m，0）是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x²+（y-2）²=4的位置关系．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），由 |

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

，得 2

(x-1)2+y2

=2(x+1)，由此化简能求出点P的轨迹C的方程．
（2）由题意得，圆的圆心坐标为（0，2），半径为2．当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离；当m≠4时，写出直线AK的方程，圆心M（0，2）到直线AK的距离，由此可判断直线AK与圆的位置关系．

解答：解：（1）设P（x，y），则

MN

=(2，0)，

NP

=(x-1，y)，

MP

=(x+1，y)．（2分）
由|

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

，
得2

(x-1)2+y2

=2(x+1)，（4分）
化简得y²=4x．
所以动点P的轨迹方程为y²=4x．（5分）
（2）由点A（t，4）在轨迹y²=4x上，则4²=4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分）
当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时直线AK与圆x²+（y-2）²=4相离．（7分）
当m≠4时，直线AK的方程为y=

4

4-m

(x-m)，即4x+（m-4）y-4m=0，（8分）
圆心（0，2）到直线AK的距离d=

|2m+8|

16+(m-4)2

，
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＜2，解得m＜1；
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

=2，解得m=1；
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＞2，解得m＞1．
综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x²+（y-2）²=4相交；
当m=1时，直线AK与圆x²+（y-2）²=4相切；
当m＞1时，直线AK与圆x²+（y-2）²=4相离．（14分）

点评：本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的数量积、曲线方程的求法、直线与圆的位置关系以及分类讨论思想和等价转化能力．