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    直线AB过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．
    （Ⅰ）求
    MA
    •
    MB
    的取值范围；
    （Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：
    MN
    •
    OF
    =0，
    NQ
    ∥
    OF
    ；
    （Ⅲ）若p是不为1的正整数，当
    MA
    •
    MB
    =4P2，△ABN的面积的取值范围为[5
    		5
    ，20
    		5
    ]时，求该抛物线的方程．
    分析：（Ⅰ）由条件得M（0，-
    p
    2
    ），F（0，
    p
    2
    ）．设直线AB的方程为y=kx+
    p
    2
    ，A（x1，y1），B（x2，y2），则x12=2py1，x22=2py2，Q（
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    ）．由
    y=kx+
    p
    2
    x2=2py
    得x2-2pkx-p2=0．由韦达定理能够推导出
    MA
    •
    MB
    的取值范围．
    （Ⅱ）抛物线方程可化为y=
    1
    2p
    x2    ，求导得y=
    1
    p
    x    ．kNA=y
    x1
    p
    ，kNB═y
    x2
    p
    ．切线NA的方程为：y-
    x12
    2p
    =
    x1
    p
    (x-x1)    ，切线NB的方程为：y=
    x2
    p
    x-
    x22
    2p
    ．由
    y=
    x1
    p
    x-
    x12
    2p
    y=
    x2
    p
    x-
    x22
    2p
    解得N（
    x1+x2
    2
    ，
    x1x2
    2p
    ），从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同．由此能够证明
    MN
    •
    OF
    =0，
    NQ
    ∥
    OF
    ．
    （Ⅲ）由
    MA
    •
    MB
    =4p2    ．又根据
    MA
    •
    MB
    =p2k2    ，知4p2=p2k2，而p＞0，k2=4，k=±2．由
    NF
    =（-pk，p），
    AB
    =(x2-x1，y2-y1) =(x2-x1)(1+
    x1+x2 )
    2p
    =（x2-x1）（1，k），知
    NF
    •
    AB
    =(-pk，p)(x2-x1) (1，k)=(x2-x1)  (-pk-pk)=0    ，从而
    NF
    ⊥
    AB
    ．由此能够求出抛物线的方程．
    解答：解：（Ⅰ）由条件得M（0，-
    p
    2
    ），F（0，
    p
    2
    ）．设直线AB的方程为
    y=kx+
    p
    2
    ，A（x1，y1），B（x2，y2）
    则x12=2py1，x22=2py2，Q（
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    ）．（2分）
    由
    y=kx+
    p
    2
    x2=2py
    得x2-2pkx-p2=0．
    ∴由韦达定理得x1+x2=2pk，x1•x2=-p2（3分）
    从而有y1y2=
    x12x22
    4p2
    =
    p2
    4
    ，y1+y2=k（x1+x2）+p=2pk2+p．
    ∴
    MA
    •
    MB
    的取值范围是[0，+∞）．（4分）
    （Ⅱ）抛物线方程可化为y=
    1
    2p
    x2    ，求导得y=
    1
    p
    x    ．
    ∴kNA=y
    x1
    p
    ，kNB═y
    x2
    p
    ．
    ∴切线NA的方程为：y-
    x12
    2p
    =
    x1
    p
    (x-x1)    即y=
    x1
    p
    x-
    x12
    2p
    ．
    切线NB的方程为：y=
    x2
    p
    x-
    x22
    2p
    （6分）
    由
    y=
    x1
    p
    x-
    x12
    2p
    y=
    x2
    p
    x-
    x22
    2p
    解得
    x=
    x1+x2
    2
    y=
    x1x2
    2p
    ∴N（
    x1+x2
    2
    ，
    x1x2
    2p
    ）
    从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同．
    ∴NQ∥OF．即
    NQ
    ∥
    OF
    （7分）
    又由（Ⅰ）知x1+x2=2pk，x1•x2=-p2，
    ∴N（pk，-
    p
    2
    ）．（8分）
    而M（0，-
    p
    2
    ）∴
    MN
    =(pk，0)
    又
    OF
    =(0，
    p
    2
    )    ．∴
    MN
    •
    OF
    =0    ．（9分）
    （Ⅲ）由
    MA
    •
    MB
    =4p2    ．又根据（Ⅰ）知
    MA
    •
    MB
    =p2k2
    ∴4p2=p2k2，而p＞0，∴k2=4，k=±2．（10分）
    由于
    NF
    =（-pk，p），
    AB
    =(x2-x1，y2-y1) =(x2-x1)(1+
    x1+x2 )
    2p
    =（x2-x1）（1，k）
    ∴
    NF
    •
    AB
    =(-pk，p)(x2-x1) (1，k)=(x2-x1)  (-pk-pk)=0
    从而
    NF
    ⊥
    AB
    ．（11分）
    又|
    NF
    |=
    		p2k2+p2
    =
    		5
    p    ，|
    AB
    |=y1+y2+p=2pk2-2p=10p，
    ∴S△ABN=
    1
    2
    |NF||AB|=
    1
    2
    ×
    		5
    p×10p=5
    		5
    p2    ．
    而S△ABN的取值范围是[5
    		5
    ，20
    		5
    ]．
    ∴5
    		5
    ≤5
    		5
    ，p2≤20
    		5
    ，1≤p2≤4．（13分）
    而p＞0，∴1≤p≤2．
    又p是不为1的正整数．
    ∴p=2．
    故抛物线的方程：x2=4y．（14分）．
    点评：本题考查数量积的取值范围、向量平行和垂直的证明、抛物线方程的求法，解题时要认真审题，注意韦达定理、导数性质、向量运算和距离公式的灵活运用．
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       （Ⅰ）求的取值范围；

       （Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点.

            求证：；

       （Ⅲ）若p是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为［5，20］时，求该抛物线的方程.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    直线AB过抛物线x2=2py（p>0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点.

       （Ⅰ）求的取值范围；

       （Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点.

            求证：；

       （Ⅲ）若p是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为［5，20］时，求该抛物线的方程.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    直线AB过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点9，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点.

    (1)求证的取值范围；

    (2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，

    求证：；

    (3)设直线AB与x轴、y轴的两个交点分别为K和L，当=4p2，△ABN的面积的取值范围限定为[]时，求动线段KL的轨迹所形成的平面区域的面积.

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    科目：高中数学 来源：2011年广东省高考数学第三轮复习精编模拟试卷08（理科）（解析版） 题型：解答题

    直线AB过抛物线x2=2py（p＞0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．
    （Ⅰ）求的取值范围；
    （Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，求证：=0，∥；
    （Ⅲ）若p是不为1的正整数，当=4P2，△ABN的面积的取值范围为[5，20]时，求该抛物线的方程．

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