Question

【题目】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.

（Ⅰ）证明MN∥平面PAB；

（Ⅱ）求四面体N-BCM的体积.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（1）取BC中点E，连结EN，EM。易得四边形ABEM是平行四边形，进而平面NEM∥平面PAB，∴MN∥平面PAB.（2）设AC中点F，则VN-BCM＝。求出S△BCM面积，算S△BCM面积时高时构造一个等高的△MEG ，NF＝PA＝2，带入即可。

（Ⅰ）取BC中点E，连结EN，EM，∵N为PC的中点，∴NE是△PBC的中位线

∴NE∥PB，又∵AD∥BC，∴BE∥AD，

∵AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，

∴BE＝BC＝AM＝2，∴四边形ABEM是平行四边形，

∴EM∥AB，∴平面NEM∥平面PAB，∵MN平面NEM，∴MN∥平面PAB.

（Ⅱ）取AC中点F，连结NF，∵NF是△PAC的中位线，∴NF∥PA，NF＝PA＝2，

又∵PA⊥面ABCD，∴NF⊥面ABCD，如图，延长BC至G，使得CG＝AM，连结GM，

∵AMCG，∴四边形AGCM是平行四边形，∴AC＝MG＝3，

又∵ME＝3，EC＝CG＝2，∴△MEG的高h＝，

∴S△BCM＝×BC×h＝×4×＝2，

∴四面体N-BCM的体积VN-BCM＝.